Об узлах и экзотических сферах Абелевскую премию получил американский математик Джон Милнор

23 марта 2011 года стало известно, что Норвежская академия наук присудила премию Абеля американскому математику Джону Милнору. 80-летний Милнор, который в настоящее время трудится в Нью-йоркском университете Стоуни-Брук, удостоился награды за вклад в дифференциальную геометрию, топологию и алгебру. Награда эта, учрежденная в честь легендарного Нильса Абеля, вручается самым выдающимся математикам современности за вклад в развитие науки.

Биография Джона Милнора как человека, прямо скажем, ничем особенно не примечательна. Родился в 1931 году в небольшом городке Орандж в Нью-Джерси. С детства демонстрировал способности к математике. Учился в Принстонском университете. В возрасте 19 лет начал заниматься серьезной научной работой под руководством своего бессменного руководителя Ральфа Фокса.

В 1954 году Милнор защитил диссертацию "Изотопия зацеплений", после чего остался работать в родном университете. В 1962 году получил Филдсовскую медаль - по мнению многих, главную математическую награду - за вклад в дифференциальную топологию. В 1988 году сменил место работы, переехав из Принстона в Нью-йоркский университет в Стоуни-Брук. Там 80-летний Милнор работает до сих пор.

С этим лаконичным жизнеописанием контрастирует то влияние на современную математику, которое оказал Милнор за свою более чем 60-летнюю математическую карьеру (если бы речь шла о литературе, его смело можно было бы назвать живым классиком). Чтобы описать все многообразие полученных им результатов, потребуется не одна подобная статья - достаточно сказать, что книги Милнора (например, написанная им в 24 года "Теория Морса") входят в список литературы для подготовки российских молодых ученых к ВАКовскому экзамену по специальности 01.01.04 "Геометрия и топология".

Мы предлагаем читателю ознакомиться всего с двумя замечательными результатами из, так сказать, "коллекции" Милнора, которые отличаются не только относительной простотой, но и несомненной научной важностью. Первый - теорема Фари-Милнора - был не более чем пробой пера 19-летнего математика, а второй - существование экзотических сфер - стал достижением уже сформировавшегося ученого и послужил одной из основных причин присуждения Милнору главной награды среди математиков - Филдсовской медали.

Узлы

Начнем с теоремы Фари-Милнора. Этот изящный результат относится к теории узлов - отрасли математики, получившей бурное развитие в последние полвека.

Математические узлы во многом напоминают узлы самые обычные, с одним важным отличием - концы узла всегда считаются склеенными. То есть, чтобы развязать на практике математический узел, нам необходимо разрезать нить (веревку, шнурок или что-то еще, что мы использовали для завязывания этого узла).

Опишем один очень важный класс узлов. Представим, что у нас имеется окружность из какой-нибудь нити. Если она достаточно большая, то мы можем ее сильно запутать - перегибать, завязывать, продевать в петли. При этом мы будем получать настоящие математические узлы, которые обладают тем свойством, что их можно распутать обратно в окружность. Такие узлы называются тривиальными (хотя внешне, положим, они могут выглядеть совсем не тривиально).

Представим теперь, что вам выдали на руки математический узел и просят его распутать. Вообще говоря, это непросто, особенно если запутыванием занимался действительно серьезно относившийся к своему делу человек. Возникает вопрос, а можно ли как-то узнать заранее, чтобы не трудиться понапрасну, тривиальный это узел или нет?

В 1950 году, изучая эту задачу, Джон Милнор пришел к замечательному результату - оказывается, если узел не слишком кривой (то есть его полная кривизна достаточно мала), то узел точно можно развязать. Тут, правда, мы забегаем вперед - чтобы более точно сформулировать результат, необходимо ввести еще несколько определений.

Итак, представим себе обычную кривую в пространстве как траекторию движения некоей точки. Пусть по этой кривой точка движется с единичной скоростью (имеется в виду, разумеется, постоянство величины скорости - то есть длины вектора, - а не его направление). Вообще говоря, у этой точки есть ускорение (то есть вторая производная уравнений движения по времени). Оказывается, что величина этого ускорения - длина соответствующего вектора вторых производных - отлично характеризует отклонение траектории от прямолинейной, поэтому ее мы и назовем кривизной. Так, исходя только из физических соображений нетрудно догадаться, что если кривизна равна нулю, то точка движется равномерно и прямолинейно.

Теперь вернемся к нашему узлу, тому самому, который нам предложили распутать. Посчитаем его кривизну. Получим некоторую функцию, определенную в каждой точке узла. Чтобы посчитать полную кривизну узла (то есть, как следует из названия, характеристику кривизны узла в целом), необходимо, разумеется, полученную функцию по узлу проинтегрировать. Так вот, теорема Фари-Милнора (болгарин Истван Фари открыл эту теорему почти одновременно с Милнором) утверждает, что если это число не больше 4П (четырех пи), то узел является тривиальным и мы можем приступать к работе. Правда, в случае, если полученное число больше 4П, ничего конкретного сказать нельзя - есть тривиальные узлы и с такой большой полной кривизной. Это, однако, не умаляет примечательности полученного результата, сводящего сложную топологическую проблему к подсчету всего одного числа.

Экзотические сферы

Второе открытие Милнора, о котором пойдет речь, более сложное и относится к дифференциальной топологии - разделу математики, существующему на стыке дифференциальной геометрии и топологии. Более того, на самом деле это открытие в значительной степени заложило основы самого этого раздела, однако не суть.

Подробно о втором из упомянутых разделе математики - топологии - "Ленте.Ру" уже приходилось писать, например тут. Коротко только напомним, что топология (среди прочего) занимается свойствами многомерных поверхностей, которые не меняются при разного рода непрерывных отображениях. Дифференциальная геометрия, в свою очередь, занимается изучением не просто непрерывных, но еще и дифференцируемых отображений. Не вдаваясь в детали, отметим, что разница между этими объектами такая же, как между непрерывными и дифференцируемыми (то есть имеющими производные разного порядка) функциями.

С точки зрения топологии, две поверхности эквивалентны, если между ними существуют взаимнообратные взаимнооднозначные непрерывные отображения - то есть, проще говоря, если один объект можно непрерывным отображением превратить во второй, а потом второй - снова в первый. Такие объекты называются гомеоморфизмами, а сами поверхности - гомеоморфными. Пожалуй, самый популярный пример гомеоморфизма - превращение кружки в пончик и обратно - можно посмотреть тут.

Дифференциальная геометрия рассматривает многомерные поверхности с точностью до другого класса отображений - диффеоморфизмов. Это взаимнооднозначные взаимнообратные отображения, которые локально задаются дифференцируемыми функциями.

В случае все тех же функций из определения производной известно, что дифференцируемая функция заведомо непрерывна. Аналогичным образом получается, что две диффеоморфные поверхности заведомо гомеоморфны. Однако верно ли, что соотношение диффеоморфности - "более тонкое", чем гомеоморфность? То есть верно ли, что существуют две эквивалентные в смысле топологии поверхности , которые не эквивалентны в смысле дифференциальной геометрии? До середины прошлого века математики были убеждены, что ответ на этот вопрос - положительный, но конкретные примеры отсутствовали.

В 1956 году Джон Милнор стал первым, кому удалось доказать существование подобных объектов, которые он назвал экзотическими сферами. Он наткнулся на поверхность, "напоминающую" семимерную сферу. По его собственным словам, вначале он подумал, что привел контрпример к многомерной гипотезе Пуанкаре, однако, как оказалось, открытое им многообразие (в математических терминах - S³-расслоение над S⁴) гомеоморфно стандартной сфере, но не диффеоморфно ей. Чуть позже Эгберт Брискорн показал, что подобные поверхности возникают естественным образом в ходе изучения алгебраических поверхностей с особенностями в десятимерном пространстве. Всего таких экзотических сфер оказалось 28 штук.

Вместо заключения

Уже эти два результата сами по себе могли бы служить любому математику поводом для гордости. Для Милнора же это серьезные, но далеко не самые глобальные достижения. Ведь есть еще гипотеза Милнора, слоение Милнора, отображение Милнора и множество других объектов, получивших имена собственные из-за своей исключительной важности. Глядя на все это, понимаешь, что Норвежская академия наук приняла верное и, в некотором смысле, даже тривиальное решение. Так что остается только порадоваться за живого классика, великого математика и нашего с вами современника.